Постулат о параллельных и неевклидовы геометрии

Математики все время испытывали некоторую неудовлетворенность, связанную с постулатом о параллельности, который, как мы видели, формулировался довольно сложно. Казалось, что его можно доказать, вывести из других постулатов и аксиом. Начиная с глубокой древности и до конца XVIII в. многие геометры пытались доказать этот постулат как теорему.

Однако все доказательства V постулата, которые были придуманы, либо содержали прямую ошибку, либо опирались на новое предложение, которого не было среди постулатов и аксиом Евклида. При более тщательном анализе всегда оказывалось, что это новое предложение равносильно постулату о параллельности, т. е. из него можно вывести этот постулат и, наоборот, из V постулата можно получить это новое предложение. К началу XIX в. вопрос о V постулате казался безнадежно запутанным. Но как раз в 20-х годах прошлого века было получено совершенно неожиданное решение этого многовекового вопроса. Это решение было связано с совершенно новым взглядом на геометрию, к которому пришли независимо друг от друга три великих геометра: Н. И. Лобачевский, К. Ф. Гаусс и Я. Больяй.

Впервые в печати решение вопроса появилось в работе Н. И. Лобачевского в 1829-1830 гг. (эта работа была доложена Лобачевским в Казанском университете еще в 1826 г.), и несколько позже -в 1832 г.- было опубликовано исследование Больяй. Гаусс вообще не опубликовал те смелые выводы, к которым пришел.

Новая идея, которая легла в основу решения, состояла в следующем: геометрия Евклида не является единственной возможной геометрией, можно построить и другие системы геометрии, столь же стройные и непротиворечивые, как евклидова. При этом и Н. И. Лобачевский и К. Ф. Гаусс были глубоко убеждены, что новая геометрия получит применение для описания и изучения геометрических свойств нашего пространства.

Такой взгляд противоречил двухтысячелетней традиции, благодаря которой сложилось убеждение, что геометрия Евклида столь же естественна, как смена дня и ночи, и что только она описывает пространственные отношения между реальными телами.

Как же строить новые геометрические системы? В XVIII в. геометры придумали новый способ доказательства V постулата. Они предполагали, что V постулат неверен, и старались прийти к противоречию, как это делается при доказательствах от противного. Действительно, если V постулат можно вывести из других постулатов и аксиом геометрии Евклида, т. е. он является теоремой, то предположение, что он неверен, должно было бы привести нас к противоречию. Однако, как ни пытались геометры получить противоречие, им этого сделать не удавалось. Они получали все новые и новые следствия; некоторые из них выглядели парадоксально, например: сумма углов треугольника у различных треугольников различна, но всегда меньше 2d; линия, равноотстоящая от некоторой прямой (эквидистанта), сама не является прямой; не существует подобных треугольников и вообще подобных фигур. Однако ни одно из следствий не противоречило другому следствию и остальным аксиомам евклидовой геометрии.

2010-1.jpg
Рис. 3.

Лобачевский, Гаусс и Больяй пришли к убеждению, что противоречия и не получится, потому что V постулат не является теоремой в евклидовой геометрии. Что же в таком случае представляют полученные следствия? Оказывается - теоремы новой геометрии! Таким образом, для построения новой геометрии нужно было заменить V постулат другим и вывести из новой системы постулатов и аксиом возможные следствия. Они-то и будут теоремами новой геометрии.

V постулату Евклида часто придают такую форму: через точку вне прямой в плоскости, определяемой этой точкой и этой прямой, можно провести только одну прямую, не пересекающую данную. Если этот постулат не имеет места, то это означает, что: 1) либо можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную (рис. 3), 2) либо таких прямых не существует вовсе (т. е. вообще нет параллельных прямых).

Второе из этих предложений легко приводится к противоречию с другими аксиомами и постулатами Евклида. Первое же Н. И. Лобачевский выбрал в качестве постулата о параллельности. Он построил новую систему геометрии, которую называют теперь геометрией Лобачевского. При этом Н. И. Лобачевский показал, что геометрия Евклида может быть получена из этой новой геометрии.

Исследования Н. И. Лобачевского открыли новую эру в истории геометрии. Если до этого казалось, что в основном в геометрии все сделано уже самим Евклидом, то после создания неевклидовой геометрии открылись широкие возможности для новых геометрических изысканий.

В 60-х годах прошлого века немецкий математик Б. Риман предложил новый метод построения всех неевклидовых геометрий, в которых можно мерить длины, площади, углы, объемы (так называемых метрических геометрий). При этом он не ограничился случаем трехмерного пространства, а строил геометрии пространств любого числа измерений. Интересно отметить, что, в частности, он построил такую геометрию, в которой нет параллельных прямых. Конечно, для построения такой геометрии пришлось отказаться от некоторых других аксиом евклидовой геометрии.

Эту геометрию называют геометрией Римана (в узком смысле слова, в отличие от общих римановых геометрий). В этой геометрии, так же как в геометрии Лобачевского, нет подобных фигур, но сумма углов треугольника в ней всегда больше 2d, а длины прямых линий ограниченны. Были предложены и другие методы построения новых геометрий.

Но в связи с новыми геометриями встали и другие вопросы: геометрия Лобачевского отличается от евклидовой постулатом о параллельности. Что будет, если заменять и другие постулаты? Всегда ли при этом будут получаться новые системы геометрии? В каких случаях новые системы будут непротиворечивыми, т. е. в них нельзя доказать некоторую теорему и одновременно доказать, что эта теорема неверна?

Для ответа на эти вопросы ученые прежде всего вновь обратились к исследованию геометрии Евклида с тем, чтобы найти все аксиомы, нужные для ее построения, а затем уже изучить связи между этими аксиомами, посмотреть, что будет, если отбросить одну или несколько из них и заменить другими. Многие математики конца прошлого века занимались этой проблемой, но впервые ее удалось решить немецкому математику Д. Гильберту в 1899 г. В его книге "Основания геометрии" была изучена первая полная система аксиом геометрии Евклида и исследованы вопросы, о которых мы говорили выше. Это направление исследований способствовало развитию современного аксиоматического метода, значение которого трудно переоценить.

Неевклидовы геометрии открыли новую эру не только в математике, но и в физике. Как и предвидели их создатели, эти геометрии сделались незаменимым математическим аппаратом многих важнейших частей современной физики, особенно теории относительности. Более подробно о новых геометриях вы можете узнать из статьи "О различных геометриях".

Итак, мы видим, что возникновение геометрии как науки далеко не закончилось построением системы евклидовой геометрии. Это было только начало, блестящее продолжение которого осуществилось в XIX в. В настоящее время геометрия представляет собой большую, широко разветвленную науку, тесно связанную со всеми остальными разделами математики.